Juros Compostos

Juros compostos são a aplicação de juros sobre juros, isto é, os juros compostos são aplicados ao montante de cada período.

 

Juros compostos são muito utilizados pelo sistema financeiro, pois oferece uma rentabilidade melhor. A taxa de juros é sempre aplicada ao somatório do capital no final de cada mês.

 

Para entender melhor veja com fica a aplicação mês a mês dos juros:

Primeiro mês: $$M  =  C  \times  (1 + i)$$

Segundo mês: $$M  =  C  \times  (1 + i) \times (1 + i)$$

Terceiro mês: $$M  =  C  \times  (1 + i)  \times (1 + i)$$

$$\times (1 + i)$$

Quarto mês: $$M  =  C \times (1 + i) \times (1 + i)$$

$$\times (1 + i) \times (1 + i)$$

Quinto mês: $$M  =  C  \times  (1 + i) \times (1 + i)$$

$$\times (1 + i) \times (1 + i)$$

$$\times (1 + i)$$

Para simplificar, obtemos a fórmula a seguir que representa juros compostos:

$$M  =  C \times (1 + i)^t$$

onde:

M é o montante final;

i é a taxa de juros aplicada;

C é o capital ou valor inicial;

t é o tempo total.

 

O cálculo somente dos juros é obtido pela seguinte fórmula:

$$J  =  M  –  C$$

onde:

J é o juro total;

M é o montante que pode ser calculado pela fórmula acima;

C é o capital ou valor inicial.

 

Importante:

Quando aplicarmos esta fórmula devemos ficar atentos as seguintes regras:

  • se a taxa i for ao ano, o tempo t deve ser reduzido à unidade de ano;
  • se a taxa i for ao mês, o tempo t deve ser reduzido a unidade de mês;
  • se a taxa i for ao dia, o tempo t deve ser reduzido a unidade de dia;
  • ambos devem ser escritos em decimal.

Exercício resolvido de juros compostos

Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de juros de 2% a.m, temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes.

 

Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:

 

1º período:

100% ⇒ R$ 1.000,00

102% ⇒ M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo paro o período seguinte)

 

CAPITAL MONTANTE
2º período: R$ 1.020,00 × 1,02 = R$ 1.040,40
3º período: R$ 1.040,40 × 1,02 = R$ 1.061,21
4º período: R$ 1.061,21 × 1,02 = R$ 1.082,43
5º período: R$ 1.082,43 × 1,02 = R$ 1.104,08

 

Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08.

 

No cálculo, tivemos:

M = R$ 1.000 × 1,02 × 1,02 × 1,02 × 1,02 × 1,02

M = R$ 1.000 × (1,02)5

M = R$ 1.000 × 1,10408

M = R$ 1.104,08

 

Este é o montante em um período de 5 meses.

 

Generalizando, o cálculo  do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo:

$$M  =  C \times (1 + i)^t$$

onde:

M é o montante final;

i é a taxa de juros aplicada;

C é o capital ou valor inicial.

Para calcular os juros total basta diminuir o montante principal pelo capital aplicado.

$$J  =  M  –  C$$

 

J  =  R$1.104,08  –  R$1.000,00$$ = R$104,08

 

Assim, depois de 5 meses devera ser pago R$104,08 de juros.

 

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  • Vitor Radi

    Olá,
    Na primeira legenda tem um erro:
    ~M é o montante final;
    ~i é a taxa de juros aplicada;
    ~C é o capital ou valor inicial;
    ~C é o tempo total. <—— aqui

    O último "C" na verdade seria "t", relativo ao tempo, correto?

    Bom dia! 🙂

    • Jean Carlos Novaes

      Correto, corrigido.

  • Jadryy Beninca

    Não entendi de onde surgiu aqueles 102%?

    • Superola

      Houve um aumento de 2% sobre o valor inicial (1,000 R$).
      1,000 R$= 100%. Com o aumento de 2%, temos: 1,020 R$ no mês seguinte.
      Ou seja, 1,020 R$ equivale á 102%. 100% + 2%= 102%.

      1,000 R$(100%) + 20(2%)= 1,020 R$(102%).

      • Jadryy Beninca

        Obrigada

  • Rodrigo Marquezzan

    Quanto deve uma pessoa depositar em um banco que paga 1,75%am como capitalizações mensais, para que no fim de 60 meses possua R$ 200.000,00?
    A)
    R$ 70.732,21
    B)
    R$ 70.626,05
    C)
    R$ 70.759,05
    D)
    R$ 70.531,88

    • P C

      Letra B !
      200000= C.(1+n)^t
      200000= C 1,0175^60
      C= 200000/2,8318
      C=70.626,45

  • Ricardo Júnior

    Meus parabéns, obrigado pela contribuição. Super recomendo! =)