Equação do 2° Grau (Segundo Grau)

Uma equação do 2° grau é uma equação que tem duas incógnita x, sendo que uma delas possuem um grau igual a 2.

Exemplo:

2x² + 5x + 3 = 0 (essa é uma equação do segundo grau, veja o grau 2 na primeira incógnita)

 

 

Toda equação do 2° grau tem a seguinte forma:

ax² + bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R e com a ≠ 0.

Chamamos a, b e c de coeficientes, a é sempre coeficiente de , b é sempre coeficiente de x e c é sempre coeficiente do termo independente.

 Exemplo:

3x² + 4x + 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 3, b = 4, c = 1.

x² – x – 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 1, b = -1, c = -1.

9x² – 5x = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 9, b = -5, c = 0.

5x² -4 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 5, b = 0, c = -4.

Equação do 2° grau completa e incompleta

Uma equação do 2° é chamada completa quando os coeficientes b e diferentes de zero.

Exemplos:

2x² + 3x + 3 = 0

x² + x + 1 = 0

São equações completas.

 

Uma equação do 2° grau é chamada incompleta quando os coeficientes b ou é igual a zero, basta um deles ser igual a zero, ou ambos serem iguais a zero.

Exemplos:

x² – 3 = 0  (b = 0)

2x² + x = 0 (c = 0)

5x² = 0 (b = 0 e c = 0)

Raízes de uma equação do 2° grau

Para resolvermos uma equação do 2° grau é necessário que encontremos as raízes da equação. As raízes são valores que quando substituímos nas incógnitas torna a sentença verdadeira. Assim, as raízes da equação forma o conjunto solução ou o conjunto verdade da equação.

 

Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é o método mais fácil para encontrarmos as raízes da equação.

$$x =  \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

 

Exercício resolvido de uma equação do 2° grau

Encontre a solução para a seguinte equação: x² – 5x + 6 = 0

Resposta:

Primeiro vamos encontrar os coeficientes da equação, isto é, os valores de a, b e c.

a = 1

b = -5

c = 6

Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara, substituindo os valores correspondentes aos coeficientes a, b e c, para encontramos as raízes da equação:

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{-5^2 – 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1}$$ (-(-5)) = 5 e -5² = -5 x -5 = 25 (menos com menos é mais, estude potenciação)

 Vamos separar a equação, pois temos que analisar separados, ou seja, quando verificarmos para + chamaremos de x1 e quando verificarmos para – chamaremos de x2. Veja:

$$x1 = \frac{5 + \sqrt{-5^2 – 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \Rightarrow $$

$$x1 = \frac{5 + \sqrt{25 – 24}}{2} \Rightarrow $$

$$x1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} \Rightarrow $$

$$x1 = \frac{5 + 1}{2} \Rightarrow $$

$$x1 = \frac{6}{2} \Rightarrow $$

$$x1 =  3 $$

 

 

$$x2 = \frac{5 – \sqrt{-5^2 – 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \Rightarrow $$

$$x2 = \frac{5 – \sqrt{25 – 24}}{2} \Rightarrow $$

$$x2 = \frac{5 – \sqrt{1}}{2} \Rightarrow $$

$$x2 = \frac{5 – 1}{2} \Rightarrow $$

$$x2 = \frac{4}{2} \Rightarrow $$

$$x2 =  2$$

Então, agora encontramos as raízes da equação: x1 = 3 e x2 = 2

Estas são as raízes da equação, ou seja, o conjunto solução que resolve a equação. Que torna ela verdadeira.

S = {2, 3}

Veja:

Se substituirmos as raízes veremos que elas realmente resolvem a equação.

$$2^2 – 5 \times 2 + 6 = 0  \Rightarrow $$

$$4 – 10 + 6 = 0   \Rightarrow$$

$$0 = 0 (verdade)$$

$$3^2 – 5 \times 3 + 6 = 0  \Rightarrow $$

$$9 – 15 + 6 = 0   \Rightarrow $$

$$0 = 0 (verdade)$$

 

Leia também

Equação do 1° grau

  • Dooh Pantoja Dos Santos

    obg <3 aprendii ! mtt

    • Lucas Lopasso

      Muito bom né ? Melhor explicação rsrs <3

  • Solange Endo

    Excelente explicação!!! Parabéns!

  • Carlos Matheus

    oche doido q massa

  • Wera Brito

    ótima explicação, adorei

  • Sérgio Chissevo

    Bela explicação, parabéns.

  • Victória Oliveira

    Porque alí no x1 e no x2 de bhaskara o -5 ao quadrado fica 25 positivo?

    • Gabriel Kawaii

      Mano, – com – é mais, e vc n sabe oq é potenciação?
      Simples, -5 ao quadrado é -5 • -5= 25

      • Jaime Oliveira

        Se ele perguntou é pq não sabia…

        • Pamela Oliver

          Desculpa, mas ele deixou bem claro na explicação ” (-(-5)) = 5 (menos com menos é mais) “

      • Felisbela Arnaldo

        E (-(-5)) que ta lá em cima, o que quer dizer, Gabriel, me ajude..

        • Pamela Oliver

          É pra separar os sinais, ele quis mostrar q os sinais negativos dos números fora e dentro da raiz (-sinal do número de fora da raiz(-5 sinal do número de dentro da raiz)) ficam positivos. Ele não coloca duas vezes o número 5 pq são iguais. Mas não altera nada no cálculo. Espero que tenha me entendido.

    • Nauan Zanetti

      Negativo com negativo fica positivo.

    • Gabriel Oliveira

      pq – com – é igual + e 5×5 eh 25

      • Bryan Autran

        simples quando os sinais sao iguais vai dar sempre positivo e quanto os sinais sao diferentes vai dar sempre negativo.
        – com – = +
        + com + = +
        – com + = –
        + com – = –

    • Leo Tchofyl Silva

      Na multiplicação de numeros inteiros (z), – com -, dá positivo.. -5 auquadrado é (-5).(-5)=25. 👍

    • Luciene Silveira

      Regras de Potenciação:
      – Base elevada a expoente par: número elevado a um expoente par, o resultado será um número positivo. Mesmo que a base seja um número negativo, seu resultado será sempre um número positivo.
      – Base elevada a expoente ímpar: número elevado a um expoente ímpar, o resultado será um número que terá o mesmo sinal da base, ou seja, se a base for positiva o resultado será positivo, mas se a base for negativa o resultado da potência será negativo.

  • Harley Suzart

    Para saber o x1 e x2 de uma equação do segundo grau onde o A= a 1 ex x² – 5x + 6 = 0 tem um macete: sempre procurar a “soma do produto” como assim? simples só descobrir que na soma da o valor de b e na multiplicação dê o valor de c. na pratica 2+3=5 2.3=6 pode ver, resposta final foi {2,3}.
    mas tem uma regrinha, no caso do 5 na equação ele está negativo, para fazer essa jogada ele deve ser positivo, se ele estivesse positivo, deveria ficar negativo
    outra equação: x²-9x-10=0, no caso seria 1 e -9 que na multiplicação da 9 e somando da -10

    • Pamela Oliver

      Interessante, mas e se em algum momento der errado?

      • Diogo Marinho

        É um ótimo macete, porém somente quando (a = 1). Se ( a # 1), é preciso utilizar um outro macete.
        Pamela Oliver, como disse anteriormente, esse macete faz parte da ciência exata. Rs Não tem como dar errado, basta apenas que verifique a condição de (a).

        • kimimaru_kaguya

          Não tem como dá errado? Então pq deu!! No segundo exemplo que ele deu os resultados deu tudo errado não são 1 e -9 e sim 10 e -1

          • Adriano Matias

            não deu errado. Ele que errou.

    • Luciene Silveira

      Resolvi sua equação x²-9x-10=0 e meu resultado foi: x1= -1 e x2=10

      • LENDÁRIO hard games

        erro feio amiga resultado:46 and 35

  • anonimo

    Alguém saberia a formula da soma do quadrado de x’ e x” [(x’^2)+(x”^2)] e a soma das razões de x’ e x” [1/x’+1/x”], estou precisando delas.

    • Fernelio Fernelio

      (x’+x”)^2=x’^2+2x’.x”+x”^2 ==> x’^2+x”^2=(x’+x”)^2-2x’.x”, mas x’+x”=-b/a daí é só substituir.

      x’^2+x”^2=(-b/a)^2-2(-b/a)==>b^2/a^2-2b/a==>o resultado será: (b^2-2ab)/a^2

      • anonimo

        Valeu

  • Master Hater

    estou aprendendo agora não entendi nada isto esta muito complicado

    • LENDÁRIO hard games

      uma hora vc aprende é sim um pouco dificil

  • Namikaze TV

    par que usar formula de baskara
    faiz noraml vei

    • Claudio Lopes Dias

      como fazer normal

    • LENDÁRIO hard games

      n da veio é isso ou nada

  • Jonathan Ayala

    sou gay

  • Leno Sanoli

    A fórmula inicial esta errada, o 2.a deve ficar fora da raiz.

    o correto é:
    https://uploads.disquscdn.com/images/544af2dfb4d28900c65283fe4d4dd2739585c6a43bcc41f98f75451ec20f1652.jpg

    • Jean Carlos Novaes

      Corrigido!

  • Giovanni Fois

    ao determinar os coeficientes da equação, temos b=-5. Em seguida na fórmula o valor de -b aparece como -5 quando o correto seria -(-5) = +5. Precisa corrigir (fórmula logo acima da frase “menos com menos dá mais, estude potenciação”)!

    • Jean Carlos Novaes

      Feito. =)

  • Jean Inútilys

    Porque o -5 elevado a 2 ficou positivo (25)?

    • pedro bezerra

      pq (-5)² = (-5) * (-5)
      dai você multiplica o 5*5 = 25 >>>>>>>>>>>> ai você terá (+25)
      e multiplica tbm o sinal (-) * (-) = (+)

  • Adriano Matias

    Isso é uma regra bem utiliza. Se chama a regra da soma S e do produto P.
    Dois números que multiplicados dê P= c/a. e somado de S= – b/a. Sempre quando a=1. só fiquem atentos com o sinal, pois ele inverte.

    Então na equação x²-9x-10=0, a nossa amiga acertou.
    dois números que multiplicado dê 10 e somado dê -9. so pode ser X1= -1 e X2 = 10.